Methoden zur Lösung von Randwertproblemen, einschließlich Fest Randwertprobleme

Kategorie: Ausbildungshilfen

















Die Methoden zur Lösung von Randwertproblemen, einschließlich" harten" Grenze Probleme


Methoden Alexey Yu Vinogradova

1 Einleitung


Auf Beispiel Differentialgleichungssystem der Zylinderschale Raketen - ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen der Ordnung 8 (nach der Trennung partiellen Ableitungen).

Das System lineare gewöhnliche Differentialgleichungen der Form:


Y (x)=A (x) ∙ Y (x) + F (x)


, wo Y (x) - der unbekannten Vektorfunktion des Problems Dimension 8x1, Y (x) - Ableitung des unbekannten Vektorfunktion der Dimension 8x1, A (x) - Quadrat Matrix von Koeffizienten der Differentialgleichung der Dimension 8x8, F (x) - ein Vektor in Abhängigkeit von äußeren Einfluss auf das System 8x1 Dimension.

Hier und dann wird der Vektor durch statt Striche fetten Buchstaben über

bezeichnet

Boundary Bedingungen haben die Form:


U ∙ Y (0)=u

V ∙ Y (1)=v,


, wo

Y (0) - der Wert der unbekannten Vektorfunktion am linken Rand x=0 der Dimension 8x1, U - rechteckige horizontale die Koeffizientenmatrix der Randbedingungen für den linken Rand der Dimension 4x8, u - der Vektor der äußeren Einflüsse auf der linke Rand der Dimension 4x1,

Y (1) - der Wert der unbekannten Vektorfunktion am rechten Rand x=1 Dimension 8x1, V - rechteckige horizontale die Koeffizientenmatrix der Randbedingungen von der rechten Kante der Dimension 4x8, v - der Vektor der äußeren Einflüsse auf die rechte Kante der Dimension 4x1.

In wenn das System von Differentialgleichungen eine Matrix mit konstanter Koeffizienten A=konst, die Lösung des Cauchy-Problem hat die Form [Gantmakher]:


Y (x)=e ∙ Y (x) + e ∙ e ∙ F (t) dt,


, wo

e=e + a (x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + ...,

, wo E die Einheitsmatrix ist.

Matrix Mehr Aussteller der Cauchy-Matrix oder matritsiantom aufgerufen werden und kann so bezeichnet:


K (x ← x)=K (x - x).=E


Dann Cauchy-Problem kann geschrieben werden:


Y (x)=K (x ← x) ∙ Y (x) + Y * (x ← x)


, wo Y * (x ← x)=e ∙ e ∙ F (t) dt ist der Vektor der eine bestimmte Lösung des inhomogenen System von Differentialgleichungen.


 

2 Bei variablen Koeffizienten


Diese die Möglichkeit der Berücksichtigung variablen Koeffizienten in der Kandidaten geprüft Arbeit.

Aus Matrix-Theorie [Gantmakher] peremnozhaemosti bekannten Eigenschaften der Matrix Exponential (Cauchy-Matrizen):


e=e ∙ E ∙ ∙ E ∙ ... e,

K (x ← x)=K (x ← x) ∙ K (x ← x) ∙ ... ∙ K (x ← x) ∙ K (x ← x).


In wenn das System von Differentialgleichungen eine Matrix mit variablen Koeffizienten A=A (x), die Lösung des Problems wird vorgeschlagen Cauchy Suche nach Immobilien mit peremnozhaemosti Cauchy-Matrizen. Das heißt, das Intervall Integration in kleine Regionen und in den kleinen Bereichen der Matrix Cauchy geteilt durch die Formel für die konstante Matrix im Exponenten näherungsweise berechnet. Dann Cauchy-Matrix auf kleinen Parzellen berechnet, multipliziert:


K (x ← x)=K (x ← x) ∙ K (x ← x) ∙ ... ∙ K (x ← x) ∙ K (x ← x)


, wo Cauchy Matrix wird in etwa durch die Formel berechnet:


K (x ← x)=e, wobei Ax=x-x.


3 Die Formel zur Berechnung des Vektors zu einer bestimmten Lösung des inhomogenen Systems Differentialgleichungen


Diese sehr einfache Formel nicht auf Computern betrogen. Statt sie betrogen viel früher abgeleitet und viel komplizierter Formel:

Der Zahlen das Verfahren der Übertragung von Randbedingungen für den steifen Differentialgleichungen Strukturm...


Seite 1 der 10 | Nächste Seite


Ähnliche abstracts:

  • Veröffentlichung: Automatisierungslösungen für das Problem nahodzhenie Matrix als Teil einer ...
  • Veröffentlichung: Die numerische Lösung des Cauchy-Problem
  • Veröffentlichung: Programmier-Algorithmen arbeiten mit Teilen der Matrix. Festlegung des Pro ...
  • Veröffentlichung: Computer-Modellierung von grafischen Lösung von Matrix Games
  • Veröffentlichung: Matrix-Management-System
  •