Analyse von Differentialgleichungen

Kategorie: Ausbildungshilfen

















Vortrag: Analysis von Differentialgleichungen


Inhalt

 

1 ist. Master Konzepte

2. Aufgaben was zu Differentialgleichungen

2,1 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

2,2 Geometrische Probleme

3. Differentialgleichungen erster Ordnung

3,1 Gleichung mit trennbaren Variablen



1. Grundlagen  

Ein Differentialgleichung ist aufgerufen Gleichung, die unabhängige Variable x , die unbekannte Funktion y=y (X) und seine Derivate y ', y' ',. Y ( n) F (x, y, y ', y " " ,. y (n)) =0

Die Reihenfolge der Differentialgleichung wird die Reihenfolge der in die höchste Ableitung erscheinen genannt.

für die Lösung von Differentialgleichungen ist jede Funktion y=y (x) , die, wenn in die Gleichung macht es zu einer Identität.

Zum Beispiel kann die Gleichung y ''=y ' ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, und die Funktionen y (x) =C 1 e x + C 2 sind seine Lösungen für alle Konstanten C 1 und C 2 .

Das Verfahren zum Finden einer Lösung der Differential Gleichung heißt seine Integration , und seine Grafiklösungen - integraler Kurven .

Jede Differentialgleichung Um n hat eine unendliche Anzahl von Lösungen. Alle diese Lösungen definiert sind Funktion, die n beliebigen Konstanten y=φ (x, C 1 , C 2 .C n ). Dieser Satz von Lösungen genannt allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Eine besondere Lösung der Differentialgleichung ist eine beliebige Funktion des Familie, erfüllt einen bestimmten Satz von Konstanten C 1 , C 2 .C n .

Geometrisch ist die allgemeine Lösung der Differential Gleichung ist eine Familie von Integralkurven der Ebene XOY , eine bestimmte Lösung - eine spezifische Kurve dieser Familie. Zum Beispiel lenken Unterscheidung ist einfach zu überprüfen, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y und Cent; y x =0 ist eine Funktion y =. Das heißt, die allgemeine Lösung der Gleichung - eine Familie von Kreisen x 2 + y 2 =C 2 und

Die Anfangsbedingungen für den Differenz Gleichung um n ist ein Satz von Werten von y (x) und seine Derivate Um n-1 inclusive y und Cent; (X), y und Cent; (X). Y (n1) (X) an einem gewissen Punkt x 0 .

der Cauchy-Problem ist das Problem Lösungen der Differentialgleichung F Auffinden (x, y, y cent;, y cent;., y (n)) = 0, Erfüllung der gegebenen Anfangsbedingungen:


y ( x 0 )= y 0 , y '( x 0 ) = y 1 , y '' ( x 0 )= y 2 ,. y ( n-1) ( x 0 )=y n-1 .


Geometrisch bedeutet dies, daß Die allgemeine Lösung der Gleichung

y = j (x, C 1 , C 2 .C < sub> n ) muss so wählen Sie die Konstanten C 1 , C 2 .C n , um ihnen entsprechenden Integralkurve durch den Punkt der Ebene (x 0 , y 0 ), und an dieser Stelle gegeben hatte Werte aller ihrer Ableitungen bis Um n-1 . Zum Beispiel kann die Lösung des Cauchy-Problem y Prozent; y=x 0, y (0)=2 Kreis ist x 2 + y 2 =4 . Um diese Entscheidung müssen in der Summe zu erhalten Lösung von x 2 + y 2 =C 2 Ersatz gegebenen Anfangsbedingungen x=0 und y=2 und aus, um den gewünschten Wert zu finden Konstante C=2

Wir stellen fest, ohne Nachweis einer der Hauptsätze der Theorie der Kontrolle.

Satz 1. ( Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Cauchy-Problem)

Wenn die F (x, y, y und Cent;, y und Cent;., Y (n)) ist in einigen stetig differenzierbar Region, die den Punkt (x 0 , y 0 ), in diesem Bereich gibt eine einzigartige Lösung der Differentialgleichung F (x, y, y cent;, y cent;., y (n)) =0, die den gegebenen Anfangs Bedingungen:

 

y ( x 0 )= y 0 , y '( x 0 ) = y 1 , y '' ( x 0 )= y 2 ,. y ( n-1) ( x 0 )=y n-1 .


2. Probleme, die zu Differentialgleichungen
2.1 gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Lassen Si...


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