Matrix

Kategorie: Ausbildungshilfen





Matrix


Die wichtigsten Themen der Vorlesung: allgemeine Definitionen, auf das Konzept einer Matrix bezieht; Operationen auf Matrizen; Determinanten für die 2. und 3. Bestellungen; Determinanten der Ordnung n, ihre Berechnung; Eigenschaften von Determinanten; inverse Matrix; Rang der Matrix.

Matrix der Größe M x N wird als ein rechteckiger Zahlentabelle enthaltend m Zeilen und n Spalten. Zahlen, die Matrix rief die Elemente der Matrix ist.

Matrizen durch Groß (Kapital) bezeichnet Lateinische Alphabet, beispielsweise A, B, C, ..., und die Elemente der Matrix verweisen verwenden Kleinbuchstaben mit dvoynoyindeksatsiey: a ij , wobei i - Anzahl der Reihe, j - Nummer der Spalte:


, i=1, 2, ..., m; j=1 2, ..., n


wird als eine quadratische Matrix von n - ter Ordnung, wenn die Anzahl der Zeilen ist gleich der Anzahl der Spalten und n.

Die Elemente einer ij , die Spaltennummer ist die Zeilennummer (i=j), und rief die Diagonalform die Hauptdiagonale der Matrix. Bei einer quadratischen Matrix Hauptdiagonalform Elemente eines 11 , ein 22 , ..., a nn und ein 1 n , ein 2n 1 , ..., A n1 -. Zusätzliche Diagonalelemente

Arten von Matrizen: die Matrix (Vektor) - String-Matrix (Vector) - Säulen, diagonalen Einheitsmatrix

.

In den Matrizen, als auch auf die Zahlen, kann man Durchführen verschiedener Operationen.

a) Multiplikation einer Matrix mit einer Anzahl. Das Produkt Matrix A durch die Zahl λ ist die Matrix B= lambda; A, deren Elemente b ij = lgr; a ij für i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n.

Insbesondere das Produkt der Matrix A durch die Zahl 0 die Nullmatrix, dh 0 • A=O.

b) Zugabe von Matrizen. Die Summe der beiden Matrizen A und B bezogen auf die gleiche Größe von M x N-Matrix C=A + B, wobei die Elemente


Von=A ± B=(aij) ± (bij)=(aij ± bij)=(cij) i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n.


(dh. Der Matrix werden durch das Element aufgenommen Element).

In dem besonderen Fall von A + 0=A

a) Matrixmultiplikation. Multiplikation einer Matrix A in In Matrix bestimmt, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist Sekunde. Dann wird das Produkt von Matrizen ist eine Matrix, wobei jedes Element mit ij ist die Summe von Produkten von Elementen der i-ten Reihe der Matrix A entspricht, Elemente der j - ten Spalte der Matrix:


 

Hinweis. A * B ≠ B * A

transponierten Matrix - der Übergang von der Matrix A die Matrix A ', in der die Zeilen und Spalten mit der Erhaltung vertauscht bestellen. Die Matrix A 'in Bezug auf so genannte Transponierte der Matrix A:



,


In der Literatur gibt es auch andere Namen transponierte Matrix, zum Beispiel A t .

Potenzieren. Eine positive ganze Zahl Ein Grad von m (m gt; 1) einer quadratischen Matrix A ist das Produkt von m Matrizen gleich A, das heißt.


A m =A * A * ... * A (m gt; 1)


m Zeit

Man beachte, dass der Betrieb der Potenzierung nur für quadratische Matrizen definiert.


Per Definition haben wir einen 0 =E, A 1 =A.


Nach trA quadratische Matrix A heißt die Summe ihrer Diagonalelemente:


 

Die Matrix A -1 , die Abhängigkeit vom Quadrat Eine Matrix - eine Matrix, die

A -1 * A=A * A -1 =E (E - die Identitätsmatrix).


 

Determinanten

Die Notwendigkeit, die Determinante einzuführen - Zahl, Charakterisieren der quadratischen Matrix A, - ist eng mit der Systemlösung bezogenen linearen Gleichungen. Determinante von A ist von det (A) oder Δ bezeichnet.

Die Determinante der Matrix erster Ordnung A=(a 11 ), oder Determinante von der ersten Ordnung ist ein Element einer 11 : Δ = | A |=und 11 . Beispielsweise sei A=(3), dann Δ 1 =| a |=3

Die Determinante der zweiten Ordnung berechnet ...


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